實數的大小比較是整個數學邏輯的基石。在數軸上，實數與點一一對應。透過觀察點的位置，我們可以直觀感知「不等」。
基本事實：
基本事實：
- 如果 $a-b$ 是正數，那麼 $a>b$；
- 如果 $a-b$ 等於 0，那麼 $a=b$；
- 如果 $a-b$ 是負數，那麼 $a< b$。
不等式的核心性質：
1. 傳遞性：$a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. 加法：$a > b \iff a + c > b + c$
3. 乘法：$c > 0 \Rightarrow ac > bc$；$c < 0 \Rightarrow ac < bc$
1. 傳遞性：$a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. 加法：$a > b \iff a + c > b + c$
3. 乘法：$c > 0 \Rightarrow ac > bc$；$c < 0 \Rightarrow ac < bc$
$$a > b \iff a - b > 0$$
1. 收集多項式各項：一個 $x^2$ 正方形，三個 $x$ 矩形條，以及兩個 1×1 個單位正方形。
2. 開始將它們在幾何上進行拼接。
3. 它們完美地形成了一個更大的連續長方形！寬度是 $(x+2)$，高度是 $(x+1)$。
題目 1
下列關於不等關係建模的表示中，錯誤的是：
某路段限速 $40\text{ km/h}$ 表示為 $v \le 40$
酸奶脂肪含量 $f$ 不少於 $2.5\%$ 表示為 $f > 2.5\%$
三角形兩邊之和大於第三邊表示為 $a+b > c$
垂線段 $d_{\text{垂}}$ 不大於斜線段 $d_{\text{斜}}$ 表示為 $d_{\text{垂}} \le d_{\text{斜}}$
正確！「不少於」意味著「大於或等於」，應表示為 $f \ge 2.5\%$。
注意關鍵詞：「不少於」包含等於的情況。請重新檢查各選項的符號含義。
題目 2
比較 $(x+3)(x+7)$ 與 $(x+4)(x+6)$ 的大小結果為：
$(x+3)(x+7) > (x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+7) = (x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+7) < (x+4)(x+6)$
無法確定，取決於 $x$ 的值
正確。作差得：$(x^2+10x+21) - (x^2+10x+24) = -3 < 0$，故前項小於後項。
提示：使用作差法。展開兩個多項式後相減，觀察結果的常數項。
題目 3
在證明不等式性質 1、3、4、6 時，最基本的理論依據是：
實數大小比較的基本事實 ($a>b \iff a-b>0$)
等式的對稱性與傳遞性
函數的單調性
幾何圖形的面積關係
正確。不等式的所有基本性質都是透過作差並根據實數運算的正負性質推導出來的。
回顧課程開篇：所有性質的推導起點都是 $a-b$ 的正負。
題目 4
若 $x$ 是實數，則 $\sqrt{x^2+x-12}$ 有意義的條件是：
$x > 3$ 或 $x < -4$
$x \ge 3$ 或 $x \le -4$
$-4 \le x \le 3$
$x \in \mathbf{R}$
正確。二次根式有意義要求被開方數非負，即 $x^2+x-12 \ge 0$，解得 $(x+4)(x-3) \ge 0$，即 $x \ge 3$ 或 $x \le -4$。
二次根式內部必須滿足 $\ge 0$。這是一個一元二次不等式問題。
題目 5
若 $a>b$，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$，則必有：
$ab > 0$
$ab < 0$
$a > 0, b < 0$
$a < 0, b > 0$
正確。由 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$ 得 $\frac{b-a}{ab} > 0$。因為 $a>b$，所以 $b-a<0$。要使分式大於 0，分母 $ab$ 必須小於 0。
提示：對 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ 進行通分作差，並結合 $a-b$ 的符號判斷分母 $ab$ 的正負。
題目 6
若 $a, b > 0$，且 $ab = a+b+3$，求 $ab$ 的取值範圍。
$ab \ge 4$
$ab \ge 9$
$ab > 3$
$ab \ge 6$
正確。由 $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ 可得 $ab-3 \ge 2\sqrt{ab}$。令 $t=\sqrt{ab}$，則 $t^2-2t-3 \ge 0 \Rightarrow t \ge 3$，故 $ab \ge 9$。
利用基本不等式 $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ 進行代換轉化。
題目 7
關於不等式性質，下列說法正確的是：
若 $a>b, c>d$，則 $ac > bd$
若 $a>b$，則 $ac^2 > bc^2$
若 $a>b>0$，則 $\frac{1}{a^2} < \frac{1}{b^2}$
若 $a>b, c< d$，則 $a-c < b-d$
正確。因為 $a^2 > b^2 > 0$，取倒數後不等號方向改變。
選項 A 缺少正數前提；選項 B 當 $c=0$ 時等號成立；選項 D 應該是 $a-c > b-d$。
題目 8
已知 $a > b$，證明 $\frac{a+b}{2} > b$ 的正確步驟邏輯是：
因為 $a > b$，所以 $a+b > 2b$，故 $\frac{a+b}{2} > b$
因為 $b < a$，所以 $\frac{a}{2} < b$，故不成立
由基本不等式直接得出
當且僅當 $a=b$ 時等號成立
正確。利用性質 3（加法）：在 $a>b$ 兩邊同時加上 $b$ 得到 $a+b>2b$，再利用性質 4（乘法）除以 2。
這是基於不等式加法性質的簡單推導。
題目 9
某高速公路規定通過車輛的車貨總高度 $h$ 不能超過 $4\text{m}$，其數學表示為：
$h < 4$
$h \le 4$
$h > 4$
$0 < h \le 4$
正確。「不能超過」包含等於 4 的情況。雖然物理意義上 $h>0$，但純數學描述為 $h \le 4$。
關鍵詞：「不能超過」。
題目 10
比較圓（週長為 $L$）與正方形（週長為 $L$）的面積 $S_1$ 與 $S_2$：
$S_1 = S_2$
$S_1 > S_2$
$S_1 < S_2$
無法比較，取決於 $L$ 的數值
正確。$S_1 = L^2/4\pi$, $S_2 = L^2/16$。由於 $4\pi \approx 12.56 < 16$，分母越小分值越大，故圓面積更大。
計算並比較 $\frac{L^2}{4\pi}$ 與 $\frac{L^2}{16}$ 的大小。
挑戰：蓄水池造價的最優設計
建模與不等式綜合應用
要建造一個容積為 $1200 \text{ m}^3$，深為 $6 \text{ m}$ 的長方體無蓋蓄水池。已知池壁的造價為 95 元/$\text{m}^2$，池底的造價為 135 元/$\text{m}^2$。如何設計水池的長與寬，才能使總造價控制在 7 萬元以內？
任務 1
建立關於總造價 $y$ 與底面邊長 $x$ 的不等式模型。
設底面一邊長為 $x$ 公尺，則另一邊長為 $\frac{1200/6}{x} = \frac{200}{x}$ 公尺。
池底面積為 $200 \text{ m}^2$，造價為 $200 \times 135 = 27000$ 元。
池壁總面積為 $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12(x + \frac{200}{x})$。
總造價 $y = 27000 + 95 \times 12(x + \frac{200}{x}) = 27000 + 1140(x + \frac{200}{x})$。
要求 $y \le 70000$。
池底面積為 $200 \text{ m}^2$，造價為 $200 \times 135 = 27000$ 元。
池壁總面積為 $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12(x + \frac{200}{x})$。
總造價 $y = 27000 + 95 \times 12(x + \frac{200}{x}) = 27000 + 1140(x + \frac{200}{x})$。
要求 $y \le 70000$。
任務 2
求解不等式，確定長與寬的取值範圍（精確到 $0.1 \text{ m}$）。
$27000 + 1140(x + \frac{200}{x}) \le 70000$
$1140(x + \frac{200}{x}) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
整理得 $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$。
利用求根公式得 $x \approx 6.4$ 或 $x \approx 31.3$。
故長與寬的範圍應在 $6.4 \text{ m}$ 到 $31.3 \text{ m}$ 之間。
$1140(x + \frac{200}{x}) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
整理得 $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$。
利用求根公式得 $x \approx 6.4$ 或 $x \approx 31.3$。
故長與寬的範圍應在 $6.4 \text{ m}$ 到 $31.3 \text{ m}$ 之間。
✨ 核心要點
作差法，定正負，大小關係顯真著。乘負數，變符號，邏輯嚴密不能漏！
💡 作差法三部曲
第一步「作差」，第二步「變形」（常透過因式分解或配方），第三步「定號」。
💡 小心負數！
不等式兩邊同時乘以或除以一個負數時，務必記得改變不等號的方向。這是最容易出錯的地方。
💡 基本不等式前提
使用 $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$ 必須滿足：一正（$a,b > 0$）、二定（積或和為定值）、三相等（$a=b$ 時等號成立）。
💡 等價性思維
$a>b \iff a-b>0$ 是雙向等價的，在證明題中常作為轉化的第一步。
💡 生活語言轉化
「至多」對應 $\le$，「至少」對應 $\ge$，「超過」對應 $>$，「不足」對應 $<$。